水星の近日点移動(1)

観測される水星の近日点移動に、ニュートン力学によって計算される値から、1世紀に40秒程度のずれがあることは19世紀から知られていた。このずれをアインシュタインが1915年に一般相対論によって説明したのは有名な話。
この計算は昔やったことがあって簡単だった記憶があるのだが、どうやったか完全に忘れてしまった。今回また一からやりなおしてみる。

まず、重力場内でのテスト粒子の測地線の方程式を導く。
$\lambda$ をパラメーターとして、粒子の軌道を $x^\mu(\lambda)$ とする。
$\Large \dot{x}^\mu = \frac{{\rm d}x^\mu}{{\rm d}\lambda}$
と書くことにして、F を
$\Large F(x,\dot{x}) = g_{\nu\rho}\dot{x}^\nu\dot{x}^\rho$
とする。
軌道の線素 ${\rm d}s$ は
$\Large {\rm d}s^2 = F{\rm d}\lambda^2$
となる。

以下西海岸メトリック(timelike convention)を使うことにして、測地線は
$\Large \delta\int {\rm d}s = \delta\int \sqrt{F} {\rm d}\lambda = 0$
を満たすから、オイラー=ラグランジュ方程式は
$\Large \frac{\rm d}{{\rm d}\lambda}\left(\frac{\partial}{\partial \dot{x}^\mu}\sqrt{F}\right) - \frac{\partial}{\partial x^\mu}\sqrt{F} = 0$
となって、これを変形して
$\Large \frac{\rm d}{{\rm d}\lambda}\left(\frac{1}{\sqrt{F}}\frac{\partial F}{\partial\dot{x}^\mu}\right) - \frac{1}{\sqrt{F}}\frac{\partial F}{\partial x^\mu} = 0\\ \frac{\partial F}{\partial\dot{x}^\mu}\frac{\rm d}{{\rm d}\lambda}\frac{1}{\sqrt{F}} + \frac{1}{\sqrt{F}}\left(\frac{\rm d}{{\rm d}\lambda}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}^\mu} - \frac{\partial F}{\partial x^\mu}\right) = 0\hspace{100pt}(1)$

$\lambda$ は任意のパラメーターだったから、ここで $\lambda$ を軌道の長さ s と一致するようにとる。つまり $\lambda = s$ とする。そうすると軌道上で
$\Large F = g_{\nu\rho} \frac{{\rm d}x^\nu}{{\rm d}s}\frac{{\rm d}x^\rho}{{\rm d}s} = 1\hspace{220pt}(2)$
だから
$\Large \frac{\rm d}{{\rm d}s}\frac{1}{\sqrt{F}} = 0\hspace{310pt}(3)$
となって、(1)の最初の項が落ちて
$\Large \frac{\rm d}{{\rm d}s}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}^\mu} - \frac{\partial F}{\partial x^\mu} = 0$
以下これを測地線の方程式として使う。

と書いたけど、(2)で $F=1$ なんだから $\partial F/\partial x^\mu = 0$ とかになるんじゃないの？って思われそうだからちょっと注釈。
(2)は軌道上(この軌道は別に測地線である必要はない)で $F=1$ という意味。 ${\rm d}/{{\rm d}s}$ は軌道に沿った微分だから(3)は 0 でいい。
$\partial F/\partial x^\mu$ とかは軌道を仮想的にずらしたときの変化だから必ずしも 0 にはならない。つまり仮想的な軌道上では $F=1$ でなくてもいい。
道なりだと $F=1$ で一定だけど、横道にそれると $F$ は変化するって感じだろうか。

参考文献 : 佐藤文隆, 『相対論と宇宙論』, サイエンス社