CodeIQ 「ステップ・アップ・サム」問題

CodeIQ の Kawazoe さん出題の問題。
問題と他の方の解答が http://togetter.com/li/875421 にある。

とりあえず項数 1 の数列を許すとして考える。

項数が奇数のとき、m を項数とすると、(m によって定まる)初項 a(m) は
$\Large a(m) = \frac{n}{m} - \frac{m}{2} + \frac{1}{2}$
数列が整数列であるための必要十分条件は m が n の約数であること。

項数が偶数のとき、m を初項+末項とすると、項数は $2n/m$ 、(m によって定まる)初項 b(m) は
$\Large b(m) = \frac{m}{2} - \frac{n}{m} + \frac{1}{2}$
数列が整数列であるための必要十分条件は m が n の奇数の約数であること。

初項が正整数となる数列の初項の総和を求めるには、m を n の奇数の約数の範囲で動かし、a(m), b(m) がそれぞれ正のものを選んで足し上げればよい。
m が n の奇数の約数のとき a(m), b(m) は整数、上式より $a(m)+b(m)=1$ なので、正整数となるのは a(m) と b(m) のうちのどちらか丁度一方で、それは
$\Large |\frac{n}{m} - \frac{m}{2}| + \frac{1}{2}$
と書ける。
結局、求める値は
$\Large \sum_m \left(|\frac{n}{m} - \frac{m}{2}| + \frac{1}{2}\right)\:-\:n$
となる。但し m は n の奇数の約数の範囲で動かす。
n を引いているのは項数 1 の数列の寄与を取り除くため。

下が提出したコード。言語は Ruby。
n は標準入力から入力する。
素因数分解を利用しているので、 $n=10^{100}$ とかならほとんど計算時間はかからない。

require 'prime'

def f(m, k)
  return (m - 2 * @n / m).abs / 2 + 1 unless @factor[k]
  (0..@factor[k][1]).map {|e| f(m * @factor[k][0] ** e, k + 1)}.inject(:+)
end

@n = gets.to_i
@factor = Prime.prime_division(@n)
p f(1, @n % 2 == 0 ? 1 : 0) - @n