量子エネルギーテレポーテーション(1)

普段覗かせてもらってるブログ
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/65166847.html
に面白そうな話が紹介されていたので、論文を読んでみた。

読んだのは
http://www.tuhep.phys.tohoku.ac.jp/~hotta/extended-version-qet-review.pdf
Masahiro Hotta, Quantum Energy Teleportation: An Introductory Review
で、これの
3　Minimal QET Model
の計算を追ってみる。

相互作用しているスピン1/2の2個の粒子 A,B の系を考える。ハミルトニアン H を
$\Large H = H_A + H_B + V \\ H_A = h\sigma^z_{\small A} \\ H_B = h\sigma^z_{\small B} \\ V = 2k\sigma^x_{\small A} \sigma^x_{\small B}$
とする。σ はパウリ行列、h, k はエネルギーの次元の正の定数。
$H_A,\; H_B,\; V$ の定義は論文から定数ぶんずらしてある。

合成系の状態ベクトルを $|\psi\rangle_A|\phi\rangle_B$ のように書くことにする。添字 A, B は適当に省略する。
z方向のスピンの固有状態 $|\uparrow\rangle|\uparrow\rangle,\; |\uparrow\rangle|\downarrow\rangle,\; |\downarrow\rangle|\uparrow\rangle, \;|\downarrow\rangle|\downarrow\rangle$ を基底ベクトルとすると
$\Large H=2\; \begin{pmatrix} h & & & k \\ & & k & \\ & k & & \\ k & & & -h \end{pmatrix}$

H の固有値は $\pm 2k,\;\pm 2\sqrt{h^2+k^2}$ だから、基底エネルギーは $-2\sqrt{h^2+k^2}$ 。基底状態 |g> は
$\Large |g\rangle\; =\; \sin\phi|\uparrow\rangle |\uparrow\rangle \;-\; \cos\phi|\downarrow\rangle |\downarrow\rangle \\ =\; \frac{1}{\sqrt{2}}\;\left\{|\rightarrow\rangle(\sin\phi|\uparrow\rangle - \cos\phi |\downarrow\rangle) \;+ \:|\leftarrow\rangle(\sin\phi|\uparrow\rangle + \cos\phi |\downarrow\rangle)\right\}$
x 方向のスピンの固有状態を |→>, |←> とした
$\Large |\rightarrow\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\rangle + |\downarrow\rangle),\;\; |\leftarrow\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\rangle - |\downarrow\rangle)$
φ は
$\Large\tan\phi = \frac{k}{h+\sqrt{h^2+k^2}}\;\;(0<\phi<\frac{\pi}{4})$
となる角。倍角公式を使えば
$\Large\tan(2\phi) = \frac{k}{h}$

系は最初基底状態にあるとして、A の x方向のスピンを測定する。
$\sigma^x_{\small A}$ の固有値を α とする。
1/2 ずつの確率で α=1 または α=-1 の測定値が得られる。
この測定により波束の収縮が起こり、α=1 の測定値を得た場合、測定直後の状態 |A(1)> は、上の |g> の式から
$\Large |A(1)\rangle \;=\; {|\rightarrow\rangle(\sin\phi|\uparrow\rangle\; -\; \cos\phi |\downarrow\rangle)$
α=-1 の測定値を得た場合、測定直後の状態 |A(-1)> は
$\Large |A(-1)\rangle \;=\; {|\leftarrow\rangle(\sin\phi|\uparrow\rangle\; +\; \cos\phi |\downarrow\rangle)$
となる。

ここで、測定の前後の系のエネルギーを見てみる。

$\Large H_A |g\rangle \;=\; h\sigma^z_{\small A} |g\rangle \;=\; h(\sin\phi|\uparrow\rangle|\uparrow\rangle \;+\; \cos\phi|\downarrow\rangle|\downarrow\rangle)$
なので
$\Large \langle g| H_A |g\rangle \;=\; h(\sin^2\phi - \cos^2\phi) \;=\; -h\cos(2\phi)$
$H_B$ についても同様に
$\Large \langle g| H_B |g\rangle \;=\; -h\cos(2\phi)$
V については
$\Large \sigma^x_{\small A} \sigma^x_{\small B} |\uparrow\rangle|\uparrow\rangle \;=\; (\sigma^x_{\small A}|\uparrow\rangle) (\sigma^x_{\small B} |\uparrow\rangle) \;=\; |\downarrow\rangle|\downarrow\rangle$
とかになるから
$\Large V|g\rangle \;=\; 2k\sigma^x_{\small A}\sigma^x_{\small B} |g\rangle \;=\; 2k(\sin\phi|\downarrow\rangle|\downarrow\rangle \;-\; \cos\phi|\uparrow\rangle|\uparrow\rangle)$
だから
$\Large \langle g|V|g\rangle \;=\; -4k\sin\phi\cos\phi \;=\; -2k\sin(2\phi)$

測定後の状態は直積状態だから簡単。
書きづらいから $|\rightarrow\rangle_A, \;|\leftarrow\rangle_A$ の代わりに $|\alpha=1\rangle_A,\; |\alpha=-1\rangle_A$ と書くことにする。

$\Large \langle A(\pm1)|H_A|A(\pm1)\rangle \;=\; h\langle\alpha=\pm 1|_A \; \sigma^z_{\small A} \;|\alpha=\pm 1\rangle_A \;=\; 0$
複号は同順を取るものとする(以下も)。

$\Large \langle A(\pm 1)|H_B|A(\pm 1)\rangle \\=\; h(\sin\phi\langle\uparrow|_B \;\mp\; \cos\phi\langle\downarrow|_B) \;\sigma^z_{\small B}\; (\sin\phi|\uparrow\rangle_B \;\mp\; \cos\phi|\downarrow\rangle_B) \\ =\;h(\sin\phi\langle\uparrow|_B \;\mp\; \cos\phi\langle\downarrow|_B) (\sin\phi|\uparrow\rangle_B \;\pm\; \cos\phi|\downarrow\rangle_B) \\ =\; h(\sin^2\phi-\cos^2\phi) \;=\; -h\cos(2\phi)$

$\Large \langle A(\pm 1)|V|A(\pm 1)\rangle \\=\; 2k\;\langle \alpha=\pm 1|_A \; \sigma^x_{\small A} \; |\alpha=\pm1\rangle_A\\ \hspace{30pt}\times(\sin\phi\langle \uparrow|_B \mp cos\phi\langle\downarrow|_B) \;\sigma^x_{\small B}\; (\sin\phi|\uparrow\rangle_B\mp cos\phi|\downarrow\rangle_B) \\ =\; \pm 2k(\sin\phi\langle \uparrow|_B \mp cos\phi\langle\downarrow|_B) \;\sigma^x_{\small B}\; (\sin\phi|\uparrow\rangle_B\mp cos\phi|\downarrow\rangle_B) \\ =\; \pm 2k(\sin\phi\langle \uparrow|_B \mp cos\phi\langle\downarrow|_B) (\sin\phi|\downarrow\rangle_B\mp cos\phi|\uparrow\rangle_B)\\=\; -4k\sin\phi\cos\phi \;=\; -2k\sin(2\phi)$

以上から、測定の前後で $H_B,\; V$ の期待値は変わらず、 $H_A$ の期待値の増加 $\Delta E_A$ が
$\Large \Delta E_A = h \cos(2\phi) = h \cos\left\{\arctan\left(\frac{k}{h}\right)\right\} = \frac{h^2}{\sqrt{h^2+k^2}}$
であることが分かる。
つまり、測定によって A がエネルギー的に叩き上げられ、そのエネルギーは B にはまだ及んでいないということだろう(たぶん)。