小澤の不等式の導出

Masanao Ozawa,
Physical content of Heisenberg's uncertainty relation: Limitation and reformulation
http://arxiv.org/abs/quant-ph/0210044
を読んでみた。
とりあえず今回は小澤の不等式の導出だけ。

以下、記法は論文とは全く違う。

A, A', B, B' をエルミート演算子として
$\Large [A',B'] = 0$
と仮定する。
$\Large \Delta A = A'-A,\;\; \Delta B = B'-B$
で ΔA, ΔB を定義すると(Δ は標準偏差の意味で使うことが多いが、ここでは演算子の差とする)
$\Large [\Delta A+A,\; \Delta B+B] = 0$

$[X+Y,Z] = [X,Z] + [Y,Z],\; [X,Y+Z] = [X,Y]+[X,Z]$ を使って
$\Large [\Delta A+A,\; \Delta B+B]\\= [\Delta A,\Delta B+B] + [A, \Delta B+B]\\ =[\Delta A,\Delta B] + [\Delta A, B] + [A,\Delta B] + [A, B]$
だから
$\Large [\Delta A,\Delta B] + [\Delta A, B] + [A,\Delta B] + [A, B] = 0\vspace{25pt}$
最後の項を移項して
$\Large [\Delta A,\Delta B] + [\Delta A, B] + [A,\Delta B] = -[A, B]\vspace{30pt}$
両辺 $\langle \psi|$ と $|\psi\rangle$ で挟み、 $X$ の平均値 $\langle \psi| X |\psi\rangle$ を $\langle X \rangle$ と書くことにすれば
$\Large \langle[\Delta A,\Delta B]\rangle + \langle[\Delta A, B]\rangle + \langle[A,\Delta B]\rangle = -\langle[A, B]\rangle\vspace{25pt}$
絶対値を取る。
$\Large |\langle[\Delta A,\Delta B]\rangle + \langle[\Delta A, B]\rangle + \langle[A,\Delta B]\rangle| = |\langle[A, B]\rangle|\vspace{25pt}$
三角不等式より
$\Large |\langle[\Delta A,\Delta B]\rangle| \;+\; |\langle[\Delta A, B]\rangle| \;+\; |\langle[A,\Delta B]\rangle| \;\geq\; |\langle[A, B]\rangle|$

エルミート演算子 X の標準偏差を σ(X) と書くことにする。ケナード・ロバートソンの不等式
$\Large \sigma(X)\sigma(Y) \geq \frac{1}{2}|\langle[X,Y]\rangle|$
を使えば

$\Large \sigma(\Delta A)\sigma(\Delta B) + \sigma(\Delta A)\sigma(B) + \sigma(A)\sigma(\Delta B) \;\geq\; \frac{1}{2}|\langle[A, B]\rangle|\hspace{188pt}(1)$

エルミート演算子 X の二乗平均の平方根 (root mean square) を rms(X) と書くことにする(この書き方は他では通用しない)。
$\Large {\rm rms}(X) = \sqrt{\langle X^2 \rangle} \\ \sigma(X) = \sqrt{\langle (X-\langle X\rangle)^2 \rangle} = \sqrt{\langle X^2 \rangle - \langle X \rangle^2}$
なので
$\Large {\rm rms}(X) \geq \sigma(X)$
これを (1) に使えば

$\Large {\rm rms}(\Delta A){\rm rms}(\Delta B) + {\rm rms}(\Delta A)\sigma(B) + \sigma(A){\rm rms}(\Delta B) \;\geq\; \frac{1}{2}|\langle[A, B]\rangle|\hspace{80pt}(2)$

ここまで仮定したのは、[A',B']=0 だけだ。この条件さえ満たしていれば、任意のエルミート演算子 A,A',B,B' と任意のベクトル |ψ> について、この不等式は成立する。

(2)式を小澤の不等式と呼んで構わない気がするが、論文に従って具体的な状況に当てはめる。
最初の時刻を 0、測定の時刻を Δt とする。測定対象の粒子のハイゼンベルク表示の位置と運動量を Q(t), P(t) とする。この粒子にプローブ粒子をぶつける。プローブ粒子のオブザーバブル(メーターオブザーバブル)を M(t) として、直接には M(Δt) を測定することで、間接的に Q(0) の測定をしたと考える。位置の測定が正確なら M(Δt)=Q(0) だ。

(2)式で
$\Large A = Q(0) \\ A' = M(\Delta t) \\ B = P(0) \\ B' = P(\Delta t)$
とする。
M(Δt) と P(Δt) は異なる粒子のオブザーバブルだから $[M(\Delta t),P(\Delta t)]=0$ で、(2)式を導いた仮定は満たされている。
$\Delta A = A'-A,\; \Delta B = B'-B$ だったから

$\Large {\rm rms}\{M(\Delta t)-Q(0)\}{\rm rms}\{P(\Delta t)-P(0)\} \;+\; {\rm rms}\{M(\Delta t)-Q(0)\}\sigma(P) \;+\; \sigma(Q){\rm rms}\{P(\Delta t)-P(0)\} \\ \;\geq\; \frac{1}{2}|\langle[Q(0), P(0)]\rangle|$

$\sigma\{Q(0)\},\;\sigma\{P(0)\}$ をそれぞれ単に $\sigma(Q),\;\sigma(P)$ と書いた。

位置の測定誤差 ε(Q)、運動量の擾乱 η(P) の Ozawa による定義は
$\Large \epsilon(Q) = {\rm rms}\{M(\Delta t)-Q(0)\}\\ \eta(P) = {\rm rms}\{P(\Delta t)-P(0)\}$
だ。
あとは同時刻交換関係 $[Q(0),P(0)]={\rm i}\hbar$ から明らかな式
$\Large |\langle[Q(0), P(0)]\rangle| = \hbar$
を使えば

$\Large \epsilon(Q)\eta(P) \,+\, \epsilon(Q)\sigma(P) \,+\, \sigma(Q)\eta(P) \:\geq\: \frac{\hbar}{2}$

これが小澤の不等式。