こういうことでしょうか

「量子エネルギーテレポーテーション」
　　東北大学大学院理学研究科　堀田昌寛
　 http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1658-11.pdf
について、kafukaさんから質問を受けた。

とりあえず $E_B$ を求めるとこまで計算式だけ書く。
詳しくは論文なり、kafukaさんの記事
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/65166847.html
を参照。

$\Large V_B = I\cos\theta + {\rm i}s\sigma_B\sin\theta$

$\Large V_B^\dagger H_B V_B = H_B\cos^2\theta + \sigma_B H_B \sigma_B \sin^2\theta + {\rm i}s[H_B,\sigma_B]\sin\theta\cos\theta$

$\Large P_A(s) V_B^\dagger H_B V_B P_A(s)\\= P_A(s)^2 V_B^\dagger H_B V_B\\= P_A(s)V_B^\dagger H_B V_B\\=\frac{1}{2} (I+s\sigma_A) V_B^\dagger H_B V_B$

$\Large E_B = \sum_s \langle g|P_A(s) V_B^\dagger H_B V_B P_A(s) |g\rangle \\ = \frac{1}{2}\sum_s \langle g|(I+s\sigma_A)(H_B\cos^2\theta + \sigma_B H_B \sigma_B \sin^2\theta + {\rm i}s[H_B,\sigma_B]\sin\theta\cos\theta)|g\rangle\\ = \langle g|(H_B\cos^2\theta + \sigma_B H_B \sigma_B \sin^2\theta + {\rm i}\sigma_A[H_B,\sigma_B]\sin\theta\cos\theta)|g\rangle\vspace{30pt}$
$\langle g|H_B|g\rangle = 0$ から最初の項は落ちる。

H の中で B に関係するのは $H_B$ だけだから
$\Large {\rm i}[H_B, \sigma_B] = {\rm i}[H, \sigma_B]$
ハイゼンベルクの運動方程式から
$\Large {\rm i}[H_B, \sigma_B] = \dot{\sigma}_B$
$\sigma_B$ はパウリ行列ではなくて(パウリ行列だと微分すると 0)、物理量としての B のスピン(の2倍)と解釈する。

$\Large E_B \;=\; \sin^2\theta \langle g|\sigma_B H_B \sigma_B|g\rangle \;+\; \sin\theta\cos\theta\langle g|\sigma_A\dot{\sigma}_B|g\rangle \\ =\;\frac{1}{2}\{1-\cos(2\theta)\} \langle g|\sigma_B H_B \sigma_B|g\rangle \;+\; \frac{1}{2}\sin(2\theta)\langle g|\sigma_A\dot{\sigma}_B|g\rangle$

質問は上の第2項でスピンの時間微分 $\dot{\sigma}_B$ がなんで出てくるのかということだった。

一般の場合を考える。
例えば、ある粒子(角運動量 J)を含む系が、|ψ> という状態だったとして、粒子を dθ だけ微小回転させたときの状態 |ψ'> は、J が回転の生成子なので
$\Large |\psi'\rangle = (I-{\rm i}J{\rm d}\theta)|\psi\rangle$
この回転によるエネルギーの変化は
$\Large {\rm d}E = \langle \psi'|H|\psi'\rangle - \langle \psi|H|\psi\rangle \\=\langle \psi|(I+{\rm i}J{\rm d}\theta) H (I-{\rm i}J{\rm d}\theta) |\psi\rangle - \langle \psi|H|\psi\rangle\\ = \langle \psi|{\rm i}[J,H]|\psi\rangle{\rm d}\theta\\ = -\langle \psi|\dot{J}|\psi\rangle{\rm d}\theta\vspace{30pt}$
dθ 回転させたときのエネルギーの変化が $-\langle\dot{J}\rangle {\rm d}\theta$ だから、 $\dot{J}$ はトルクに等しいと考えられる。量子論でトルクという言葉はあまり聞かないが、古典論なら N をトルクとして $\dot{J}=N$ は当然。

$E_B$ の第2項から s=1 の部分を取り出して書き直すと(s=-1 も同じようなことになる)
$\Large \frac{1}{2}sin(2\theta)\langle g| P_A(1) \dot{\sigma}_B P_A(1) |g\rangle$

B の角運動量を $J_B = \sigma_{\small B}/2$ とする。 $V_B$ の定義から $V_B$ による回転の角 φ は -2θ。 $P_A(1)|g\rangle$ は $\sigma_A$ を測定して、測定値 1 という結果になった状態なので |1> と書くことにする。
以上で書き直せば上の式は
$\Large -sin\phi\langle 1|\dot{J}_B |1\rangle$

これは、例えば、一様磁場からトルク N を受けた、磁場に垂直な古典的磁気双極子がトルクの方向に φ 回転したときのエネルギーの変化 -Nsinφ と同じ形をしている。
式が $\sigma_A$ に拠るのは、A から B が直接力を受けるのではなくて、B の周りの粒子が A とエンタングルしてて(エンタングルの具体的な情報は |g> に含まれている)、それらの粒子から力を受けるから。

なんで垂直なのかは聞かないように。残した部分は、きっと $E_B$ の第1項に含まれてる。