クーロン散乱(1)

量子論でクーロン散乱(またはラザフォード散乱)の計算をしてみる。

(これと次の記事は回りくどいから 時間に依存する摂動論 - 計算用紙 で計算しなおした。)

\hbar=1 とする。
ハミルトニアン H を
\Large H = H_0 + V\vspace{30pt}
とする。H_0 は自由粒子のハミルトニアン、V はポテンシャル項。
自由粒子が V によって散乱される問題を考える。

シュレーディンガー表示の状態ベクトル |\psi\rangle_{\rm S} に対して、相互作用表示の状態ベクトル |\psi\rangle を
\Large |\psi\rangle = \exp({\rm i}H_0t)|\psi\rangle_{\rm S}\vspace{30pt}
で定義する*1。以後も添え字のない状態ベクトルは相互作用表示のものとする。

相互作用表示の状態ベクトル |\psi\rangle の満たす方程式を求めよう。
\Large {\rm i} \frac{\rm d}{{\rm d}t}|\psi\rangle = {\rm i} \frac{\rm d}{{\rm d}t} \{\exp({\rm i}H_0t)|\psi\rangle_{\rm S}\} \\ = {\rm i} \frac{\rm d}{{\rm d}t} \exp({\rm i}H_0t)|\psi\rangle_{\rm S}+ \exp({\rm i}H_0t){\rm i}\frac{\rm d}{{\rm d}t} |\psi\rangle_{\rm S}\\=-H_0\exp({\rm i}H_0t)|\psi\rangle_{\rm S}+ \exp({\rm i}H_0t) H |\psi\rangle_{\rm S}\\ = -H_0\exp({\rm i}H_0t)|\psi\rangle_{\rm S}+ \exp({\rm i}H_0t) (H_0+V) |\psi\rangle_{\rm S} \\ = \exp({\rm i}H_0t) V |\psi\rangle_{\rm S} \\ = \exp({\rm i}H_0t)\, V\, \exp(-{\rm i}H_0t) |\psi\rangle

\Large V_{\rm I} = \exp({\rm i}H_0t)\, V\, \exp(-{\rm i}H_0t)
とすると
\Large {\rm i}\frac{\rm d}{{\rm d}t}|\psi\rangle = V_{\rm I}|\psi\rangle

ここまでは何も近似はしていない。

上の微分方程式を |ψ> について解きたいのだが、|ψ> が両辺に現れているので、厳密に解くのは難しい。
しかし、|\psi\rangle の初期状態を |\psi_{\rm in}\rangle とし、V を小さな摂動と見ることができれば、V_{\rm I} も小さいので、|\psi\rangle はゆっくり変化し、|\psi\rangle - |\psi_{\rm in}\rangle は小さい項と見なせる。この小さな項同士の積 V_{\rm I}(|\psi\rangle - |\psi_{\rm in}\rangle) をざっくり無視すれば
\Large {\rm i}\frac{\rm d}{{\rm d}t}|\psi\rangle = V_{\rm I}|\psi_{\rm in}\rangle
と近似できる。

最初の時刻を -T とする。時刻 T での状態 |\psi_{\rm out}\rangle は、上の方程式を初期条件 |\psi\rangle = |\psi_{\rm in}\rangle で積分して
\Large |\psi_{\rm out}\rangle = |\psi_{\rm in}\rangle-{\rm i}\int_{-T}^{T} V_{\rm I} {\rm d}t\, |\psi_{\rm in}\rangle = \left(1-{\rm i}\int_{-T}^{T} V_{\rm I} {\rm d}t\right) |\psi_{\rm in}\rangle

第1項は入射波がそのまま抜けてきたものに対応するので、散乱波は第2項だ。
括弧の中の演算子はS行列と呼ばれたりもする。

*1:この書き方は分かりづらかったかも。|\psi\rangle も |\psi\rangle_{\rm S} も時間に依存する。時間依存性をあらわにして |\psi,t\rangle などと書けば、\large |\psi,t\rangle = \exp({\rm i}H_0t)|\psi,t\rangle_{\rm S} という意味。