水星の近日点移動(4)

前回
\Large \frac{L^2}{r^4}\left( \frac{{\rm d}r}{{\rm d}\phi}\right)^2 = E^2 - \left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(1+\frac{L^2}{r^2}\right)
まで計算したのだった。

ここで
\Large u=\frac{1}{r}
として、r の代わりに u の方程式に直す。
\Large L^2\left(\frac{{\rm d}u}{{\rm d}\phi}\right)^2 = E^2 - (1-2Mu)(1+L^2u^2)
普通の単位に戻すと
\Large L^2\left(\frac{{\rm d}u}{{\rm d}\phi}\right)^2 = \frac{E^2}{c^2}-\left(1-\frac{2GMu}{c^2}\right)(m^2c^2+L^2u^2)
となって、少し変形して
\Large L^2\left(\frac{{\rm d}u}{{\rm d}\phi}\right)^2 = \frac{E^2}{c^2}-m^2c^2+2GMm^2u - L^2u^2(1-r_{\rm g} u)\hspace{50pt}(1)\vspace{40pt}
r_{\rm g}=2GM/c^2 は太陽のシュヴァルツシルト半径。

導出は省略するが、これに対応するニュートン力学の式は、E_{\small\rm N} をニュートン力学の力学的エネルギーとして
\Large L^2\left(\frac{{\rm d}u}{{\rm d}\phi}\right)^2 = 2mE_{\small\rm N}+2GMm^2u-L^2u^2\hspace{161pt}(2)

E は相対論的なエネルギーなので、E と E_{\small\rm N} の間に
\Large E \approx mc^2 + E_{\small\rm N}
の関係があると考えれば、
\Large \frac{E^2}{c^2}-m^2c^2 \approx 2mE_{\small\rm N} + \frac{E_{\small\rm N}^2}{c^2} = 2mE_{\small\rm N}\left(1+\frac{E_{\small\rm_N}}{2mc^2}\right)
|E_{\small\rm N}|\ll mc^2 だから
\Large \frac{E^2}{c^2}-m^2c^2 \approx 2mE_{\small\rm N}
つまり (1)(2) の右辺の u の0次の項はほぼ等しい。u の 1,2次の項も、細かいことを言えば微妙に異なるのだが、等しいと見てよい。結局、両式の本質的な相違は (1) が u の3次の項を余分に持つことだ。
u は水星と太陽間の距離、およそ 6\times 10^7km の逆数。太陽のシュヴァルツシルト半径 r_{\rm g} は約 3km。だから \large r_{\rm g}u は 5\times 10^{-8} 程度で、(1) の形から u の3次 の項は u の2次の項に比べて桁違いに小さく、u の3次の項を摂動項と見ることができる。

まず (1) から u の3次の項を落とした式
\Large L^2\left(\frac{{\rm d}u}{{\rm d}\phi}\right)^2 = \frac{E^2}{c^2}-m^2c^2+2GMm^2u - L^2u^2\hspace{129pt}(3)
の解を見ておく。

両辺 L^2 で割って、右辺を u について完全平方すれば
\Large \left(\frac{{\rm d}u}{{\rm d}\phi}\right)^2 = A - \left(u-\frac{1}{l}\right)^2\hspace{328pt}(4)\vspace{40pt}
ここで
\Large l = \frac{L^2}{GMm^2} \\ A = \frac{E^2-m^2c^4}{c^2L^2} + \frac{G^2M^2m^4}{L^4}
とした。
l は長さ、A は長さの -2乗の次元を持ち、(4)の形から A≧0。だから無次元の実数 e (≧0) を導入して A=e^2/l^2 とできる。
\Large \left(\frac{{\rm d}u}{{\rm d}\phi}\right)^2 = \frac{e^2}{l^2} - \left(u-\frac{1}{l}\right)^2\hspace{326pt}(5)

u を質点の位置、φ を時間と見れば、この式は調和振動子と同じ形で、解は
\Large u = \frac{1+e \cos \phi}{l}
となる。ただし、φ の原点で u が最大値を取るように初期条件を選んだ。
u = 1/r で r の式に戻してやると
\Large r = \frac{l}{1+e \cos \phi}\vspace{40pt}
これはよく知られた2次曲線の極座標表示で、e は離心率、l のほうは半直玄とか言うらしい。
水星の場合、e≒0.2 の楕円軌道になる。