円盤上の2点間の平均距離

以前、某所で答えた問題。
難しくはないけど、途中の計算が面白い。

問題: 単位円盤上に一様かつ独立にランダムな2点を取るとき、2点間の平均距離 {\bar \ell} はいくらか？

シミュレーションしてみると {\bar \ell}=0.9054 程度の値になる。
正確な値を計算で求めてみよう。
極座標で2点を (r,\theta), (r',\theta') として、この2点間の距離を \ell とすれば
\Large {\bar \ell} = \frac{1}{\pi^2}\int_0^1{\rm d}r \int_0^1{\rm d}r' \int_0^{2\pi}{\rm d}\theta \int_0^{2\pi}{\rm d}\theta'\, rr'\ell
\ell は余弦定理より
\Large \ell = \sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos(\theta-\theta')}
\ell は r,r' について対称だから、r>r' の範囲で積分したものを2倍すればよい。
\Large {\bar \ell} = \frac{2}{\pi^2}\int_0^1{\rm d}r \int_0^r{\rm d}r' \int_0^{2\pi}{\rm d}\theta \int_0^{2\pi}{\rm d}\theta'\,rr'\ell
\phi = \theta'-\theta として、積分変数を r,r',\theta,\phi に取り直せば
\Large {\bar \ell} = \frac{2}{\pi^2}\int_0^1{\rm d}r \int_0^r{\rm d}r' \int_0^{2\pi}{\rm d}\theta \int_{-\theta}^{2\pi-\theta}{\rm d}\phi\,rr'\ell,\hspace{50pt} \ell = \sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos\phi}
\ell の中で角度は \cos\phi の形でしか現れないから、\phi の積分範囲を -\pi\sim \pi に取り直して、\theta の積分を行ってしまう。
\Large {\bar \ell} = \frac{2}{\pi^2}\int_0^1{\rm d}r \int_0^r{\rm d}r' \int_0^{2\pi}{\rm d}\theta \int_{-\pi}^{\pi}{\rm d}\phi\,rr'\ell= \frac{4}{\pi}\int_0^1{\rm d}r \int_0^r{\rm d}r' \int_{-\pi}^{\pi}{\rm d}\phi\,rr'\ell
\ell は \phi の偶関数だから、\phi の積分範囲を 0\sim \pi にして、積分値を2倍にする。
\Large {\bar \ell} = \frac{8}{\pi}\int_0^1{\rm d}r \int_0^r{\rm d}r' \int_0^{\pi}{\rm d}\phi\,rr'\ell

だらだら長くなったが、ここまでは簡単だ。
積分順序を交換して
\Large {\bar \ell} = \frac{8}{\pi}\int_0^1{\rm d}r \int_0^{\pi}{\rm d}\phi\int_0^r{\rm d}r'\,rr'\ell
いちばん内側の積分で、積分変数を r' から図の \psi に変換する。
正弦定理から
\Large \ell = \frac{r\,\sin\phi}{\sin\psi}
\Large r' = \frac{r\,\sin(\phi+\psi)}{\sin\psi}
これから {\rm d}r' は
\Large {\rm d}r' = -\frac{r\,\sin\phi}{\sin^2\psi}{\rm d}\psi
r,\,\phi を固定して r' を 0\sim r と動かすと、\psi は \pi-\phi\sim\frac{1}{2}(\pi-\phi) と動く。
以上から
\Large{\bar\ell}=\frac{8}{\pi}\int_0^1{\rm d}r \int_0^{\pi}{\rm d}\phi\int_{\frac{1}{2}(\pi-\phi)}^{\pi-\phi}{\rm d}\psi\;\frac{r^4\,\sin^2\phi\,\sin(\phi+\psi)}{\sin^4\psi}
と綺麗な形にまとまる。
r で積分。
\Large{\bar\ell}=\frac{8}{5\pi}\int_0^{\pi}{\rm d}\phi\int_{\frac{1}{2}(\pi-\phi)}^{\pi-\phi}{\rm d}\psi\;\frac{\sin^2\phi\,\sin(\phi+\psi)}{\sin^4\psi}
積分順序を交換して \phi,\,\psi の順に積分。
\Large{\bar\ell}=\frac{8}{5\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\rm d}\psi\int_{\pi-2\psi}^{\pi-\psi}{\rm d}\phi\;\frac{\sin^2\phi\,\sin(\phi+\psi)}{\sin^4\psi}\;+\;\frac{8}{5\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi{\rm d}\psi\int_0^{\pi-\psi}{\rm d}\phi\;\frac{\sin^2\phi\,\sin(\phi+\psi)}{\sin^4\psi}\\=\frac{8}{15\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\rm d}\psi\,\frac{2-\sin^2\psi+2\cos\psi(2\sin^4\psi-1)}{\sin^4\psi}\;+\;\frac{8}{15\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi{\rm d}\psi\,\frac{2-\sin^2\psi+2\cos\psi}{\sin^4\psi}\\=\frac{128}{45\pi}=0.905415