∫dx/√{(x-ξ)(x-η)(x-ζ)}

$\Large \int_{\xi}^X \frac{{\rm d}x}{\sqrt{(x-\xi)(x-\eta)(x-\zeta)}}\hspace{504pt}(1)\\ \xi<\eta<\zeta,\;\;\xi\leq X \leq\eta$
の計算を考える。これは初等関数では表せないが
$\Large F(z,k) = \int_0^z \frac{{\rm d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}\hspace{434pt}(2)\\ K(k) = F(1,k)\hspace{542pt}(3)$
という積分に帰着できる。F(z,k) は第一種楕円積分, K(k) は第一種完全楕円積分と呼ばれる*1。

まず (1) で ξ=-1, η=1 とした特別な場合を考える。
$\Large \int_{-1}^X \frac{{\rm d}x}{\sqrt{(x^2-1)(x-\zeta)}}\hspace{539pt}(4)$

調べてみると
$\Large x = f(t) = \frac{\alpha t+\beta}{\gamma t+\delta}\hspace{525pt}(5)$
として、 $(1-t^2)(1-k^2t^2)$ の零点 1, -1, 1/k, -1/k が、 $(x^2-1)(x-\zeta)$ の零点 1, -1, ζ 及び無限遠点に写る*2ように変数変換 f を定めればいいらしい。
0＜k＜1 として、 $(x^2-1)(x-\zeta)$ と $(1-t^2)(1-k^2t^2)$ のグラフの形を考えると、自然な対応は
$\Large \infty=f\left(-\frac{1}{k}\right),\;\; -1=f(-1),\;\; 1=f(1),\;\; \zeta=f\left(\frac{1}{k}\right)\hspace{244pt}(6)$
だろう。

(6) の最初の条件は、逆数を取れば
$\Large 0 = \frac{1}{f\left(-\frac{1}{k}\right)} = \frac{\gamma-\delta k}{\alpha-\beta k}$
だから
$\Large \gamma-\delta k = 0\hspace{581pt}(7)$

(6) の残り3条件から
$\Large \alpha-\beta=-\gamma+\delta\hspace{540pt}(8) \\ \alpha+\beta=\gamma+\delta\hspace{554pt}(9) \\ \alpha+\beta k=\zeta(\gamma+\delta k)\hspace{501pt}(10)$

(7)(8)(9) から
$\Large \beta=\gamma=\alpha k,\;\;\delta=\alpha\hspace{493pt}(11)$
α=0 とすると、α=β=γ=δ=0 となって無意味なので、以降 α≠0 とする。
(11) を (5) に代入すれば
$\Large x = f(t) = \frac{t+k}{kt+1}\hspace{531pt}(12)$

(11) を (10) に代入して
$\Large k^2 - 2\zeta k + 1 = 0\hspace{532pt}(13)$
k＜1 の解は
$\Large k = \zeta - \sqrt{\zeta^2-1}\hspace{543pt}(14)$

(12) と (14) で変数変換が定まったので、あとは (4) の積分変数を x から t に変換すればいい。
(4) の平方根の中の因子をそれぞれ変換すると
$\Large x+1 = \frac{(1+k)(1+t)}{kt+1}\hspace{514pt}(15) \\ x-1 = -\frac{(1-k)(1-t)}{kt+1}\hspace{504pt}(16) \\ x-\zeta = x-\frac{1+k^2}{2k} = -\frac{(1-k^2)(1-kt)}{2k(kt+1)}\hspace{383pt}(17)$
(13) を ζ について解いた式 $\zeta=(1+k^2)/(2k)$ を (17) で使った。
(15)(16)(17) を見ると、 $(x^2-1)(x-\zeta)$ の因子 $x+1,\;x-1,\;x-\zeta$ に対応して、 $(1-t^2)(1-k^2t^2)$ の因子 $1+t,\;1-t,\;1-kt$ が右辺の分子に現れているのが分かる。
(15)(16)(17) を掛けて
$\Large (x^2-1)(x-\zeta) = \frac{(1-k^2)^2(1-t^2)(1-kt)}{2k(kt+1)^3}= \frac{(1-k^2)^2(1-t^2)(1-k^2t^2)}{2k(kt+1)^4}\hspace{143pt}(18)$
(12) より
$\Large {\rm d}x = \frac{1-k^2}{(kt+1)^2}{\rm d}t\hspace{532pt}(19) \\ t = \frac{x-k}{1-kx}\hspace{594pt}(20)$

(18)(19)(20) により (4) の積分変数を変換すると
$\Large \int_{-1}^{X} \frac{{\rm d}x}{\sqrt{(x^2-1)(x-\zeta)}} = \sqrt{2k}\int_{-1}^{\frac{X-k}{1-kX}}\frac{{\rm d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} = \sqrt{2k}\,\left\{K(k)+F\left(\frac{X-k}{1-kX},\,k\right)\right\}\hspace{50pt}(21)$

一般の場合 (1) では
$\Large \Delta=\frac{\eta-\xi}{2},\;\; \mu = \frac{\xi+\eta}{2}$
として
$\Large x = \Delta x' + \mu$
と変換すれば (4) の形にできる。
結果は
$\Large \zeta'=\frac{\zeta-\mu}{\Delta},\;\; k=\zeta'-\sqrt{\zeta'^2-1}\\ X'=\frac{X-\mu}{\Delta}$
として*3

$\Large \int_{\xi}^{X} \frac{{\rm d}x}{\sqrt{(x-\xi)(x-\eta)(x-\zeta)}} = \sqrt{\frac{2k}{\Delta}}\,\left\{K(k)+F\left(\frac{X'-k}{1-kX'},\,k\right)\right\}\hspace{226pt}(22) \\ \, \\ \int_{\xi}^{\eta} \frac{{\rm d}x}{\sqrt{(x-\xi)(x-\eta)(x-\zeta)}} = 2\sqrt{\frac{2k}{\Delta}}\,K(k)\hspace{371pt}(23)$

右辺の係数は
$\Large \sqrt{\frac{2k}{\Delta}} = \frac{\sqrt{\zeta-\xi}-\sqrt{\zeta-\eta}}{\Delta}$
と書くこともできる。

*1:楕円積分の定義は場所によってまちまちだが、ここではこの(2)(3)の定義を採用することにする。

*2:写像で「うつる」と言うとき、「写る」と「移る」両方の表記を見るんだが、どっちが正しいんだろうか?

*3:実際に数値を当てはめて計算する場合、 $\zeta'\gg 1$ のとき、この k の計算はほとんど同じ大きさの数の引き算になって桁落ちが大きい。 $k=1/(\zeta'+\sqrt{\zeta'^2-1})$ と計算すれば桁落ちを避けることができる。